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數學家如何通過拓撲學驗證莫比烏斯環嵌入空間的問題

文章作者:管理一號 | 2019-03-26
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制圖:Olena Shmahalo/Quanta Magazine

來歷:舉世科學

在數學中,無限的空間應當可以包容無限多的東西,從原子、細菌到無限多的行星都不在話下。可是,莫比烏斯環(Möbius band)是個破例。莫斯科州立大學的數學家Olga Frolkina最近證明了,聞名的莫比烏斯環不能被無限次地壓縮進無限大的空間中。在這篇精(bu)彩(ming)紛(jue)呈(li)的文章中,你將看到數學家怎么經過拓撲學驗證莫比烏斯環嵌入空間的問題。

不同的無限,巨細也不盡相同。從1到無窮大的自然數調集便是最小的無限之一。自然數的調集是可數的。任何一組無限的目標,例如將無限多的原子、行星放進三維空間里,它都是可數的。理論上,你可以給一切的行星編號。

有些數集太大而無法將其間的目標逐個列出。例如,實數包含數軸上的每一個點,乃至像π這樣古怪的、具有無盡不重復小數部分的點也在內。運用由19世紀德國數學家康托爾提出的對角化(diagonalization)論證法,咱們可以證明,即使是一個無限大的實數列表,也或許是不完整的。實數集顯著大于自然數集。它是“不行數”的無限,或簡稱“不行數”。

變具象的數學

盡管如此,不行數的目標調集依然可以存在。幻想一下,怎么把一個不行數的圓筒調集塞進三維空間,而不讓它們相互觸摸。要做到這一點,你只需將一切的圓筒置于同一個軸上,使它們的直徑別離對應于數軸上不行數點中的一個。這些圓筒會像一套數不盡的俄羅斯套娃,由內而外嵌套在一起。

乍一看,好像莫比烏斯環能以類似的辦法嵌套在一起。可是假如你試著在一個莫比烏斯環里邊嵌套第二個環,你會發現第二個環將在第一個環的外部閉合。

關于上述的圓筒,咱們很簡單能區別它的內外側。而這關于莫比烏斯環是不行能的,由于它是一類被稱為非定向流形(non-orientable manifold)的有形數學目標——當你繞著它在空間中轉一圈時,是無法區別固定的內外側的。

Frolkina盡管證明了莫比烏斯環無法像圓筒相同嵌套在一起,但并沒有否定它們能以更奇妙的辦法嵌套的或許性。這一證明的亮點在于,它向咱們展現了莫比烏斯環無法像圓筒那樣嵌套的原因。

 

Frolkina的成果立足于一個名為點集拓撲學(point-set topology)的范疇。在上世紀50至60年代,數學家們相繼證明了將一系列物體(例如圓盤、中空球體)嵌入進三維空間的理論。

可以說,研討者們正在使籠統的數學變得具象。拓撲學有點像簡化的幾何學:重要的不是準確的形狀和間隔,而是大規范的結構。

兩種嵌入辦法

在幾何學中,球面是空間中與一個原點等距的一切點的調集,但在拓撲學中,將前面的結構隨意揉捏、拉伸變形,只需不將其撕裂或許粘合,它都算是一個球面。在空間中準確定位拓撲球的辦法被稱為嵌入。一個球可以以許多不同的辦法嵌入三維空間,不管是像肥皂泡相同的完美圓球形、延展成臘腸相同的形狀,仍是像變形蟲的細胞膜相同搖晃改變,只需這些形狀滿足球的界說即可。

上面比如中的嵌入被稱為“馴良”嵌入(tame embedding)。馴良嵌入可以在整個空間內延展,因而拉伸或揉捏空間,可以使嵌入球面變為規范圓球形。

與此相對應,“非馴”嵌入(wild embedding)則很難可視化,一般需求運用無限來進行描繪。非馴嵌入版的球面無法經過空間變形轉化成圓球形。

例如,為構建亞歷山大帶角球(Alexander horned sphere),首要需從一個類似于甜甜圈外表的圓環上切下一段,在堵截后留下的空地兩邊別離銜接兩個互鎖的圓環面,并如此重復:堵截每個次級圓環,刺進一對互鎖的小圓環,隨后堵截更小的圓環。無數次履行這個置換進程后,你就可以得到亞歷山大帶角球。盡管證明該目標在拓撲學上是一個球體并不繁瑣,但它對錯馴嵌入的。將它擴大后,你能在越來越小的規范上看到互鎖的“角”。

非馴嵌入的亞歷山大帶角球

像亞歷山大帶角球那樣的非馴嵌入很難被塞進空間里。早在20世紀中葉,數學家R.H.Bing就證明了假如嵌入是馴良的,就可以將不行數無限的球面和圓環面不堆疊地嵌入三維空間。可是,圓盤就大不相同了:將不行數的圓盤不堆疊地嵌入空間中是可行的,不管它們是否馴良。

三維與更高維度

那么莫比烏斯環可以像這樣被嵌入空間中嗎?1962年,俄羅斯數學家Victor Vasilievich Grushin 和 Victor Pavlovich Palamodov證明了,不行數個馴良嵌入的莫比烏斯環無法被不相交地嵌入進三維空間中。可是,這對非馴嵌入的莫比烏斯環是否相同建立仍無定論。

Frolkina參閱了他們和Bing等點集拓撲學家的作業,將定論延展到了非馴嵌入的莫比烏斯環上。她在論文平分解了嵌入的外表,并剖析了這些切片在空間平散布的辦法。

Frolkina還在高維空間中研討了類似問題。她考慮了n維(n≥3)的非定向流形,并指出:這些流形中只要可數的辦法可以馴良地嵌入n+1維的空間中。

她的作業并沒有包括這些高維情況下的非馴嵌入。可是,莫斯科斯泰克洛夫數學研討所的數學家Sergey Melikhov審理了她的論文后,擴展了她的作業。Melikhov運用更籠統的代數辦法消除了Frolkina的定論在更高維度中的馴良約束。二者的作業證明了不管是運用非馴仍是馴良嵌入,將不行數無限個非定向流形壓縮到空間中都是絕無或許的。

點集拓撲的研討已不及60年代風景,可是Melikhov以為在另一個活潑的拓撲研討范疇——紐結理論中,一些敞開性問題具有“點集風格”。深化了解非馴嵌入或許在這一范疇內非常有用。從某種意義上說,紐結理論中遍及存在著非馴性,由于大多數紐結都對錯馴嵌在周圍的空間中的。這些非馴嵌入招引了Frolkina,由于它們挑戰了人類了解的極限。拓撲學家一般把他們的研討限制在符合直覺的空間問題上,可是“當你發現一個非馴的目標,或許一個與你的直覺相對立的目標時,轉折點就呈現了。”

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